MECÂNICA QUÂNTICA DIMENSIONAL POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI. [1.990]

MECÂNICA QUÂNTICA DIMENSIONAL POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI.

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] [

$P(E_{n})=\sum _{i=1}^{g_{n}}|\langle E_{n,i}|\psi \rangle |^{2}$

$]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] [ $]$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi

[ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] [

$E_{1,1}=\pi ^{2}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {1}{L_{x}^{2}}}+{\frac {1}{L_{y}^{2}}}\right)$

$]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] [

$E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})$

Os estados possíveis de um sistema mecânico quântico podem ser tratados matematicamente como vetores abstratos em um espaço de Hilbert complexo e separável, enquanto os observáveis podem ser representados por operadores hermitianos lineares que atuam sobre eles. Ao selecionar uma base adequada, as componentes desses vetores e os elementos de matriz dos operadores nessa base podem ser determinados. Se $A$ é uma matriz $N \times N$ , $X$ um vetor não nulo, e $λ$ é um escalar, tal que $AX=\lambda X$ , então diz-se que o escalar $λ$ é um autovalor de $A$ e o vetor $X$ é o autovetor correspondente a $λ$ . Juntamente com o vetor nulo, o conjunto de todos os autovetores correspondentes a um dado autovalor $λ$ forma um subespaço de $C n$ , que é chamado de autoespaço de $λ$ . Diz-se que um autovalor $λ$ que corresponde a dois ou mais autovetores linearmente independentes diferentes é degenerado, ou seja, $AX_{1}=\lambda X_{1}$ e $AX_{2}=\lambda X_{2}$ , onde $X_{1}$ e $X_{2}$ são autovetores linearmente independentes. A dimensão do autoespaço correspondente a esse autovalor é conhecida como o seu grau de degenerescência, que pode ser finito ou infinito. Diz-se que um autovalor é não degenerado se o seu autoespaço for unidimensional.

Os autovalores das matrizes que representam observáveis físicos na mecânica quântica fornecem os valores mensuráveis desses observáveis, enquanto os autoestados correspondentes a esses autovalores fornecem os estados possíveis nos quais o sistema pode ser encontrado após a medição. Os valores mensuráveis da energia de um sistema quântico são dados pelos autovalores do operador Hamiltoniano, enquanto os seus autoestados dão os possíveis estados de energia do sistema. Diz-se que um valor de energia é degenerado se existirem pelo menos dois estados de energia linearmente independentes associados a ele. Além disso, qualquer combinação linear de dois ou mais autoestados degenerados é também um autoestado do operador Hamiltoniano correspondente ao mesmo autovalor de energia. Isto decorre claramente do fato de que o autoespaço do autovalor de energia $λ$ é um subespaço (sendo o núcleo do Hamiltoniano menos $λ$ vezes a identidade), e, portanto, é fechado sob combinações lineares.^[4]

[Expandir]Prova do teorema acima.^[5]^:52

Efeito da degenerescência na medição da energia

Na ausência de degenerescência, se for determinado um valor medido de energia de um sistema quântico, assume-se que o estado correspondente do sistema é conhecido, uma vez que apenas um autoestado corresponde a cada autovalor de energia. No entanto, se o Hamiltoniano ${\hat {H}}$ tem um autovalor degenerado $E_{n}$ de grau g_n, os autoestados a ele associados formam um subespaço vetorial de dimensão g_n. Nesse caso, vários estados finais podem possivelmente ser associados ao mesmo resultado $E_{n}$ , todos os quais são combinações lineares dos g_n autovetores ortonormais $|E_{n,i}\rangle$ .

Neste caso, a probabilidade de que o valor de energia medido para um sistema no estado $|\psi \rangle$ produza o valor $E_{n}$ é dada pela soma das probabilidades de encontrar o sistema em cada um dos estados nesta base, ou seja, $P(E_{n})=\sum _{i=1}^{g_{n}}|\langle E_{n,i}|\psi \rangle |^{2}$

Degenerescência em diferentes dimensões

Esta seção pretende ilustrar a existência de níveis de energia degenerados em sistemas quânticos estudados em diferentes dimensões. O estudo de sistemas unidimensionais e bidimensionais auxilia na compreensão conceitual de sistemas mais complexos.

Degenerescência em uma dimensão

Em vários casos, resultados analíticos podem ser obtidos mais facilmente no estudo de sistemas unidimensionais. Para uma partícula quântica com uma função de onda $|\psi \rangle$ movendo-se num potencial unidimensional $V(x)$ , a equação de Schrödinger independente do tempo pode ser escrita como $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi$ Como se trata de uma equação diferencial ordinária, existem no máximo duas autofunções independentes para uma dada energia $�$ , de modo que o grau de degenerescência nunca excede dois. Pode-se provar que, em uma dimensão, não existem estados ligados degenerados para funções de onda normalizáveis. Uma condição suficiente em um potencial contínuo por partes $�$ e a energia $�$ é a existência de dois números reais $M,x_{0}$ com $M\neq 0$ tais que $\forall x>x_{0}$ temos $V(x)-E\geq M^{2}$ .^[6] Em particular, $�$ é limitado inferiormente neste critério.

[Expandir]Prova do teorema acima.

Degenerescência em sistemas quânticos bidimensionais

Sistemas quânticos bidimensionais existem nos três estados da matéria e grande parte da variedade vista na matéria tridimensional pode ser criada em duas dimensões. Materiais bidimensionais reais são feitos de camadas monoatômicas na superfície de sólidos. Alguns exemplos de sistemas eletrônicos bidimensionais obtidos experimentalmente incluem o MOSFET, super-redes bidimensionais de Hélio, Neônio, Argônio, Xenônio etc. e a superfície do hélio líquido. A presença de níveis de energia degenerados é estudada nos casos da partícula numa caixa e do oscilador harmônico bidimensional, que atuam como modelos matemáticos úteis para vários sistemas do mundo real.^[7]^[8]^[9]

Partícula num plano retangular

Considere uma partícula livre num plano de dimensões $L_{x}$ e $L_{y}$ delimitado por paredes impenetráveis. A equação de Schrödinger independente do tempo para este sistema com a função de onda $|\psi \rangle$ pode ser escrita como $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial y}^{2}}}\right)=E\psi$ Os valores de energia permitidos são $E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}}\right)$ A função de onda normalizada é $\psi _{n_{x},n_{y}}(x,y)={\frac {2}{\sqrt {L_{x}L_{y}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)$ onde $n_{x},n_{y}=1,2,3,\dots$

Assim, os números quânticos $n_{x}$ e $n_{y}$ são necessários para descrever os autovalores de energia e a menor energia do sistema é dada por $E_{1,1}=\pi ^{2}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {1}{L_{x}^{2}}}+{\frac {1}{L_{y}^{2}}}\right)$

Para algumas razões comensuráveis dos dois comprimentos $L_{x}$ e $L_{y}$ , certos pares de estados são degenerados. Se $L_{x}/L_{y}=p/q$ , onde p e q são inteiros, os estados $(n_{x},n_{y})$ e $(pn_{y}/q,qn_{x}/p)$ têm a mesma energia e, portanto, são degenerados entre si.

Partícula numa caixa quadrada

Neste caso, as dimensões da caixa são $L_{x}=L_{y}=L$ e os autovalores de energia são dados por $E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})$

Como $n_{x}$ e $n_{y}$ podem ser permutados sem alterar a energia, cada nível de energia tem uma degenerescência de pelo menos dois quando $n_{x}$ e $n_{y}$ são diferentes. Estados degenerados também são obtidos quando a soma dos quadrados dos números quânticos correspondentes a diferentes níveis de energia é a mesma. Por exemplo, os três estados (n_x = 7, n_y = 1), (n_x = 1, n_y = 7) e (n_x = n_y = 5) todos têm $E=50{\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}$ e constituem um conjunto degenerado.

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